正确答案：C

答案解析：对于工人出现流鼻血和刷牙时牙龈出血的情况，首先应该考虑到苯慢性中毒可能性。苯是一种有毒的化学物质，长期暴露于苯中会对造血系统产生损害，导致血小板减少，从而增加出血倾向。鞋厂使用的胶水中含有苯作为溶剂，工人们接触到苯的可能性较高。

针对这种情况，正确的应对方式是首先让工人到职业病防治医院进行检查，以确定是否存在苯中毒。职业病防治医院具有专业的设备和医疗团队，能够进行相关的检测和诊断，帮助确认工人的健康状况是否受到苯中毒的影响。

选项A建议工人看牙医检查是否牙周炎，这虽然也是一个可能的原因，但考虑到工人出现了流鼻血和牙龈出血两种症状，而且工厂使用的胶水中含有苯，首先应该考虑苯中毒的可能性。

选项B建议工人多喝凉茶去火气，这个建议虽然有助于一些人体内的平衡，但对于苯中毒造成的问题并不是解决办法，不是最佳的选择。所以，正确的答案是C，首先让工人到职业病防治医院检查是否苯中毒。