正确答案：C

答案解析：正确答案是C.燃气部门。

A.消防部门：消防部门主要负责消防安全的管理和监督，包括火灾的预防和扑救、消防设施的检查等。虽然消防部门对家庭装修中可能涉及的消防安全问题有指导和监督的责任，但他们并不直接管理或同意燃气管线的挪动。

B.物业部门：物业部门负责住宅区的日常管理，包括公共设施的维护、环境卫生、安全保卫等。对于家庭内部的装修，物业部门可能有相应的管理规定，但他们不会直接涉及燃气管线的具体操作和同意。

C.燃气部门：燃气部门是负责燃气供应、管理和安全的专业机构。他们对燃气管线的布局、安装、使用和维护有专业知识和经验，能够提供专业的安全指导和建议。家庭装修中如果要挪动燃气管线，必须经过燃气部门的同意和指导，以确保操作的安全性，避免引发燃气泄漏、火灾或爆炸等安全事故。

正确答案是C.燃气部门。