谜语解析：这个谜面“父子双翰林”是在描述一个有趣的现象，即一个家族中既有父亲是翰林，又有儿子是翰林。翰林是古代科举制度中的一种官职，代表着文学和学术上的成就。

谜底“一个门生、三个进士”是对这个现象的解释。在这里，“门生”指的是学生的意思，而“进士”则是科举制度中的最高学位。这里的“一个门生”可以理解为父亲曾经是某个学生的老师，也就是他的门生。而“三个进士”则意味着这个家族的三个儿子都考中了进士，也就是他们都成为了翰林。

所以，这个谜底巧妙地通过“门生”和“进士”这两个词的双关意义，揭示了谜面中“父子双翰林”的含义。父亲作为学生的老师，他的学生成为了翰林，而他的三个儿子也都成为了翰林，实现了“父子双翰林”的情况。