答案解析：根据《国家税务总局关于建立小微企业涉税诉求和意见快速响应机制的通知》，在处理小微企业涉税诉求和意见的过程中，规定由首次受理企业诉求的部门对诉求和意见进行登记。这样的规定有利于确保企业提出的诉求和意见能够得到及时、有效的响应，并且能够明确责任归属，保障小微企业合法权益。

选项分析如下：

A.主管税务机关：这个选项不够具体，因为主管税务机关可能涉及多个部门，不够明确哪一个部门负责登记。

B.各级纳税服务主管部门：虽然纳税服务部门涉及到处理企业诉求，但这个选项没有指出是首次受理部门，可能导致责任不明确。

C.首次受理企业诉求的部门：这个选项正是通知中规定的责任部门，有利于诉求的快速响应和跟踪管理。

D.12366纳税服务热线：虽然12366是受理纳税服务诉求的渠道之一，但不是所有诉求都通过这个热线首次受理，因此也不是最合适的答案。

正确答案是C，即首次受理企业诉求的部门。