正确答案：应当向县级以上人民政府民政部门登记

答案解析：基于《中华人民共和国民法典》关于收养的相关规定，我们可以逐项分析如下：A.正确。根据我国现行有效的法律规定，在进行收养时，收养人与送养人均应依法到县级以上人民政府民政部门办理收养登记手续。

B.部分情况正确但表述不够完整。对于查找不到生父母的弃婴和儿童，民政部门确实应当予以登记，并在登记前后的一定时间内发布公告寻找其亲生父母。若法定期限内无人认领，则可以继续办理收养程序。

C.不完全准确。虽然实践中可能会签署收养协议以明确双方的权利义务，但是《民法典》并未明确规定收养必须签订书面协议作为收养成立的前提条件。

D.错误或不全面。依据《民法典》，收养并不强制要求办理收养公证，但这是一种可选的方式来增强收养关系的证据效力和法律保障程度。

正确的选项是：A.应当向县级以上人民政府民政部门登记。