答案解析：这句话“居庙堂之高则忧其民，处江湖之远则忧其君”出自宋朝诗人范仲淹的《岳阳楼记》。这篇文章是范仲淹应好友巴陵郡守滕子京之邀，为重修岳阳楼所写的题记。这句话表达了作者无论身处朝堂之上还是远离政治江湖，都心系国家和百姓的忧患意识。

A项：《兰亭集序》是东晋王羲之的作品，与题目中的范仲淹无关。

B项：《醉翁亭记》是北宋文学家欧阳修的作品，同样与范仲淹无关。

C项：《岳阳楼记》正是范仲淹所写，其中包含了题目中的这句话，因此是正确答案。

D项：《滕王阁序》是唐代文学家王勃的作品，与范仲淹无关。

正确答案为C。